楼主
数学教学方法改革之实践与理论思考
数学教学方法改革之实践与理论思考 南京大学哲学系 郑毓信
教学方法的变革可以被看成新一轮数学课程改革顺利开展的关键所在。就现实而言，一些新的教学方法得到了积极倡导，如情境设置、自主探索、动手实践、合作学习等；但是，与盲目的追随相比，在此更需要深入的理论学习与分析，从而在理论指导下更为自觉地去进行实践，包括切实避免各种可能的片面认识与做法上的简单化。
这事实上应被看成数学教学方法改革深入发展的必然要求，即应当努力超越纯粹的“形式追求”转而更为重视相关的实质问题，并能通过积极的教学实践与深入的理论研究不断取得新的进步。以下从这样的角度对所提及的各种方法作出具体分析；另外，笔者还将从一般角度对数学教学方法改革的问题作出进一步的论述。
一、情境设置与“贴近生活”
新课程特别倡导用具体的、有趣味的、富有挑战性的素材引导学生投入数学活动。因为，这既可以帮助学生更好地认识数学的意义，对于调动学生学习数学的积极性显然也十分有利。但是，从教学实践的角度看，在此显然又应提出这样的问题：“情境设置”是否应当被看成数学教学中引入课程内容的唯一合理方法，以致在任何情况下都不应采取其他的方法，即“单刀直入”地直接引出主题？
为了回答这一问题，可以先来看下面的教例。
为了引出“平均数”的概念，教师首先设计了这样一个情境。将学生分成人数相等的两队，通过和学生自由谈话引出：“老师想了解一下咱们班这两队同学的拍球水平，你们说该怎么办？”……在学生谈出自己的不同想法以后，教师结合生活实际肯定了“每队选几个代表拍球”的做法，并在教室中实际组织了如下的活动：学生限时地拍球，教师记录两队中每位同学的拍球个数；然后，教师又提出了如下问题：“现在我们已经知道了两队中每位同学的拍球个数，哪队同学拍球水平高？你有自己的想法吗？”……在独立思考和全班交流后，教师又以游戏者的角色加入其中拍球水平低的一队，从而引出了“在人数不相等的情况下，比什么才能公平”这样一个问题，并“通过辩论”得出了如下的结论：“比较平均每人拍球的个数才公平”。这样，我们就由上述的特殊情境最终引出了“平均数”的概念。
上述做法对于调动学生的学习积极性无疑是有益的；但是，由于“平均数”的概念对大多数学生来说并非完全陌生的，毋宁说，他们已由日常生活在这一方面积累起了一定的经验和知识，因此，我们在此就应认真考虑这样一个问题：与花费很多的时间和精力去组织“拍球”这样一个活动（或其他的类似活动）相比，以下的做法是否更为可取，即单刀直入地直接提出“你们有谁知道平均数是什么吗”这样的问题。显然，后一做法不仅更好地体现了教学活动的高效性，也可充分调动学生在这一方面所已具有的各种知识和经验，而学生经由“拍球”活动所获得的经验或体会则不能不说与“平均数”概念的学习仍有较大的距离。
另外，由以上的实例我们也可引出这样一个结论，即应当对“情境设置”提出更为明确的要求，这应被看成好的“情境设置”所应满足的一个基本要求：就相关内容的教学而言，特定情境的设置不应仅仅起到“敲门砖”的作用，也即仅仅有益于调动学生的学习积极性，还应当在课程的进一步开展中自始至终发挥一定的导向作用。再则，由于课堂教学的高效性正是我国数学教学的一个长期传统[1]，因此，从这样的角度去分析，这显然也就可以被看成“在课程改革这一新形势下如何继承与发扬我国优秀的数学教学传统”这一重要课题的一个重要方面，即应当如何去处理好“情境设置”与“教学的高效率性”这两者之间的关系。
其次，就当前而言，关于“情境设置”的考虑显然又直接关系到了新一轮数学课程改革的另一重要指导思想，即应当“贴近学生的现实生活，不断沟通生活中的数学与教科书上数学的联系，使生活和数学融为一体。”[2]
由于在先前的另一篇文章中笔者已对数学课程改革的生活化取向进行了分析，[3]在此就仅限于指明以下几点。
第一，“情境设置”不应唯一地被理解为“生活情境”；恰恰相反，这或许可被看成语言学习所给予我们的一个重要启示：如果说生活在英国即是学习英语的最好方法，那么，学习数学的最好方法也就是为学生创设相应的“数学情境”。这也就是指，我们应当努力防止对于“生活数学”的片面强调，包括用“生活味”去完全取代数学教学所应具有的“数学性”。例如，著名数学家、数学教育家弗赖登塔尔就曾对所谓的“情境教学”提出了直接的批评：“当前已经有不少人对数学教育提出了数学化的要求，但我担心其结构太狭隘，常常把数学化理解成最低层次的活动……最时髦的提法就是为现实某个微小而孤立的片断──所谓‘情境’进行数学化，也就是为情境建立一个数学模型。”与此相对立，弗赖登塔尔指出，“毫无疑问学生也应该学习数学化，当然从最低的层次开始，也就是先对数学内容进行数学化，以保证数学的应用性。同时还应该进到下一个层次，即至少能对数学内容进行局部的组织。”[4]显然，弗赖登塔尔的这些言论对于我们当前的实践也有着十分重要的指导意义。
第二，这正是认知活动现代研究的一个重要结论，即明确肯定了认知活动的情境相关性，从而，即使是同样的问题在不同的情境中也完全可能具有不同的意义；进而，由于“课堂本身也构成一个特殊的情境，因此，以下现象的出现也就不足为奇了，即在学校这样一个特殊的环境中，学生们往往会（有意识或无意识地）忽视各种现实的考虑，从而，“现实问题”的引入就未必能达到使“学校数学”更接近实际生活的目标。例如，以下就可被看成这一方面的一个典型例子[5]：在一堂观摩课的教学中，在对长方形的面积公式进行了总结以后，作为相关知识的具体应用，教师设计了这样一个问题，即要求学生就所给出的一个房间的平面图（其中有标出了尺寸的一个窗户、一张床和一个方桌）进行计算以对房间加以装饰。当时所发生的情况是：所有学生最终所得出的都是精确的面积数（精确到了平方厘米），也即非但没有采取合理的近似值，也完全没有想到在实际生活中我们还必须给窗帘、床罩等加上一定的“裙边”；恰恰相反，当这位教师在平面图上进行了实物模拟并追问学生对所已完成的工作有什么看法时，被提问的学生又几乎异口同声地回答说：“十分满意”“很漂亮”；而只是经过教师的多次启发，学生们才最终“意识”到需要给窗帘、床罩等加上一定的“裙边”。显然，上述现象的出现并非是由于教师的教学有任何不恰当的地方，只是更为清楚地表明了学习活动的环境相关性，特别是，我们不能期望单纯依靠在教学中引入更多的“应用题”（现实问题）就可有效地解决数学教学严重脱离实际的这一长期存在的“老问题”。
当然，以上的论述并非是指我们不应积极地去倡导数学与实际生活的紧密联系，毋宁说，这是从又一角度更为清楚地表明了这样一点，与对于“生活化”的片面强调（如“数学向学生日常生活的回归”这样的提法）相比，我们事实上应当更加重视对于“日常数学”与“学校数学”的不同性质及其相互关系的分析，并切实做好两者间的必要转化，包括由“日常数学”上升到“学校数学”，以及由“学校数学”向现实生活的“复归”。[6]
二、合作学习与“学习共同体”
对于合作学习的提倡显然也是新一轮数学课程改革的一个重要特点。这就正如《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》所指出的，“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。”[7]
那么，在教学中我们究竟又应如何去实行“合作学习”呢？相对于纯粹的理论论述而言，在此显然更需要积极的教学实践以及对于实践活动的认真总结。例如，以下就是江苏省常州市的同行通过课改实验的回顾与思考所得出的若干体会与经验：“第一，不能搞大量浅层次、低水平操作，例如，不要动辄搞小组讨论，有些问题可以马上由学生回答的就无需进行小组讨论。第二，合作交流必须建立在明确分工、互助性学习的基础上，组织工作要落实到位，不能搞形式上的合作。……否则，形式上分组，几个同学围在一起……给人以‘表面的积极性’和‘一切顺利’的假象，造成新的两极分化。第三，合作交流必须建立在独立思考的基础上，……没有经过个体精思而匆忙展开的讨论如无源之水，表达的见解既不成熟，也不具备深度，更谈不上个性和创见。第四，要提供足够的时间和空间让学生充分展开讨论。第五，教师要对学生活动进行有效监控和及时引导。”[8]
上述的体会和经验显然具有十分普遍的意义。当然，在此也还有许多问题需要我们积极地去作出进一步的探讨。例如，就以上所论及的“小组讨论”而言，究竟什么是这一方法最为有效的组织形式，特别是，“异质分组”“同质分组”又各有什么样的优点与局限性？再则，什么是采取“小组讨论”最为恰当的时机？我们又应如何去处理在“小组学习”中所经常会遇到的一些困难或问题，如“学生在一起会聊天，但不会讨论”“学生的讨论经常偏离主题”“学生的说明别人听不懂”“讨论的时候教室变得很嘈杂”“老师应在什么时候介入？如何介入？”“如何读懂儿童解题的意义？”“运用讨论的方式，学习的进度很慢”“如何解决家长对于‘小组讨论’这一学习方式的疑虑？”等等。
值得指出的是，国际上（包括港台地区）的相关实践在这一方面也已为我们提供了不少有益的启示或经验。例如，依据台湾同行的经验，在教师提出问题后，马上组织“小组讨论”往往不能取得较好的效果；与此相对照，更为恰当的做法是首先让学生独立解题，然后再进行全班交流，而只是在对各种方法进行比较时才依据观点的不同进行分组并以此为单位进行全班交流和辩论，因为，只有在后一种情况下，小组讨论的优越性才能得到充分发挥并很好地避免这一学习形式所可能造成的消极后果。
另外，除去做法上的具体体会以外，我们又应不断加深对于“合作学习”本身的理解。例如，就当前而言，以下的思想就具有特别的重要性：“合作学习”并非仅仅是指学生间的互动，而且也应包括师生间的积极互动；另外，我们又不应将“小组学习”看成“合作学习”的唯一形式，恰恰相反，教师应当根据具体的教学内容、对象和环境灵活地应用各种可能的教学形式，包括全班讨论、师生问答与集体评价等。
应当提及的是，国际上关于学习活动的现代研究已从理论上为我们更为深入地去认识“合作学习”的意义提供了重要启示。具体地说，我们在此所论及的主要是由“认知心理学（信息加工理论）”向“情境理论”的发展，而后者的最重要特征就在于着眼点的变化，即将研究对象由个体转向了群体，转向了个体与群体的关系，以及由唯一注重个体的认知活动（意义建构）转向了个人的社会定位（身份的确定）。例如，在笔者看来，就只有从后一角度去分析，我们才能更为深刻地去认识以下转变的意义：“我从孩子们的日记中看到他们分析事理的能力愈来愈强；从课堂中听到他们使用的词汇愈来愈清晰有理；从他们的同学互动中感觉到容忍与爱心的滋生，一切的一切，让我觉得不只是与他们共同讨论数学而已，重要的是培养一个会做理性批判思考、会主动学习、会容忍异己欣赏别人以及有世界观的国民。”[9]显然上，上述的变化事实上也就为我们切实做好“合作学习”提出了更高的要求：我们不仅应当高度关注每个学生的参与和发展，而且也应十分重视如何去创建一个好的“学习共同体”，并使每个学生都能成为共同体的积极一员。
也正是从这样的角度去分析，笔者以为，这事实上也就可以被看成好的“合作学习”所应满足的一些基本要求，即应当处理好“互动与制约”“分工与分享”“创新与继承”这样三个方面的辩证关系，特别是，就当前而言，我们应突出强调这样几点：第一，合作学习并非仅仅是指在共同体的各个成员之间存在积极的互动关系，而且也是指对于相应规范的自觉接受。例如，这就是后者的一项重要内涵，即每个学生都应学会尊重别人，欣赏别人。第二，合作学习又并非是指对于共同的学习活动在形式上的参与，包括在不同成员之间进行了一定的分工，而主要是指各个成员有着共同的目标或“使命感”，并能真正做到信息与内容的“共享”。例如，就当前而言，我们显然应特别关注相对较为后进的学生，保证他们也能真正做到对于“共同活动”成果的共享。第三，从共同体的角度去分析，学生就由“合法的边缘参与者”逐渐成为了“核心成员”，而这事实上也就清楚地表明了在“创新与继承”之间所存在的重要关系，特别是，对于已有文化传统的继承应被看成成功创新的一个必要条件。
最后，就当前的实践而言，笔者以为，以下三个问题应引起我们的特别重视，或者说，这为我们深入地去开展相关的教学研究提供了重要的课题。
第一，应当如何去认识与把握数学教学在这一方面的特殊性？
第二，应当特别重视语言作为一种“中介”在合作学习中所发挥的特殊作用。例如，无论在教学中采取了什么样的合作形式，这显然都应被看成一个基本的追求目标，即应当帮助学生学会清楚地对自己的思想作出表述以及更好地去理解别人（包括教材）。
第三，正如上面所已提及的，在实施“合作学习”的过程中我们应特别关注较为后进的学生乃至一般学生在共同体中的处境。例如，正是从这样的角度去分析，以下的做法就不能说是完全恰当的：作为“教学工作应当以学生为本，以学生的发展为本”这一立场的具体体现，有学者在一篇题为《新课程教师怎样关注学生》一文中[10]主张：教师在教学工作中应当“关注学生表现，欣赏学生的想法，重视学生的问题，接纳学生的意见，宽容学生的错误，满足学生的需要”；上述的主张当然是完全合理的，但是，由文中所给出的各个实例可以看出，任课教师在此所关注的事实上主要是少数几个较为“调皮”（但思维又较为敏捷的）的学生，即如何才能保持这些学生的学习积极性，而不要轻易挫伤他们的自尊心与创新意识，如教师把“最具分量的幸运星”奖给了说出“8是16的儿子”的学生，尽管后者并不能被看成一个严格的数学表述；以及因学生指出“被减数与减数完全相同的时候，可以交换它们的位置”而承认自己先前关于“被减数与减数的位置绝对不可交换”这一断言是错误的；等等。因为，即使我们暂且不去考虑这些做法是否真的有益于上述目标的实现，在此显然也应认真思考这样一个问题：这些做法对于班上的大多数学生产生了什么样的影响？由于大班教学正是我国数学教学的基本事实，而我们的学生又不能说在是非问题上已经具备了很强的判断能力，因此，不管我们的出发点是什么，教师在课堂上都不应成为少数学生的“尾巴”，也即只是为“迎合”少数学生的“表现欲望”或什么别的“需要”而忽视了因此而对大多数学生所可能造成的负面影响。
三、学生主动探究与教师的指导作用
就学生主动探索这一新的教学方法的应用而言，笔者以为，这无疑应当成为我们在这一方面的基本立场：我们应当积极提倡学生的主动探究，但也应当明确地肯定教师在这一过程中应发挥重要的指导作用。
例如，在笔者看来，我们就应从这样的角度去理解常州的同行们在这一方面所得出的如下经验：“‘自主探索’也不是‘自由探索’，漫无边际和毫无目标的胡思乱想，不仅毫无意义，而且误导学生对科学探索的‘严谨性’。”另外，在这一“总结性材料”中所引用的一个学生的以下体会则可以说十分清楚地表明了上述的基本立场事实上也就可以被看成学生的实际要求：“过去，当我遇到一个问题，还没有来得及思考，老师就开始讲解了，我有一种被拖着走的感觉……现在，教师给了我们较充裕的思考和活动时间。但是，当我们经过思考和讨论还无法解决问题时，是多么渴望老师讲解！”[11]
那么，教师究竟应当如何去发挥所说的指导作用呢？什么又是教师发挥这种作用的最佳形式与恰当时机呢？
应当指明的是，国外的相关实践在这一方面为我们提供了不少具体经验。例如，就教师在组织全班讨论时应当如何很好地发挥引导者的作用而言，美国著名数学教育家思尼克（L.Resnick）就曾指出：“重复学生的语言，再一次确认学生的意思，是教师控制教室对话的两种最明显的策略，这两种策略可以让学生的发言，从个体自我意思的表达，转化为全班可以共同沟通的语言。”[12]另外，台湾的邬瑞香老师也通过自己的教学实践总结出了以下三种方法：第一，对于教室运作有用的信息应予以增强；第二，干扰或暂不能处理的信息则予以忽略或淡化处理；第三，教师应缩小自己（的权威），建立学生的自信心。[13]
另外，还应强调的是，所谓教师的指导作用也不应被理解成教师直接给出解题或解题方法；恰恰相反，更为重要的是如何去提出启发性的问题以及提供适当的案例。
例如，这就正如美国学者巴拉布与达菲所指出的，“教师的工作是通过向学生问他们应当自己问自己的问题来对学习和问题解决进行指导。这是参与性的，不是指示性的；其基础不是要寻找正确答案，而是针对专业的问题解决者当时会向自己提出的那些问题。”[14]
事实上，课堂提问正是我国广大数学教师十分善于应用的一种教学方式。例如，在八年级的一堂几何课中，教师共出了105个问题，其数量之多甚至连任课教师自己也不敢相信。[15]但是，这又正是国际上的一个发展趋势，即我们不应唯一注意提问的数量，而应更加注意提问的质量，特别是，我们应努力减少那种纯粹回忆的问题或不需任何思考就可回答的“简答题”，而应在所说的“问题的启发性”上狠下工夫。
再例如，美国著名学者乔纳森在《重温活动理论：作为设计以学生为中心的学习环境的框架》一文中也曾明确指出，“当要求学习者……解决问题时，必须通过提供相关案例以支撑这些经验……相关案例通过向学习者提供他们不具备的经验的表征，来支持意义的形成。……通过在学习环境中展示相关案例，……向学习者提供了一系列的经验和他们可能已经建构的与这些经验有关的知识，以便与当前的问题进行对比。……相关案例同时也通过向学习者提供所探讨的问题的多种观点和方法，帮助他们表征学习环境中的复杂性”[16]。
当然，又如人们所已熟悉的，在数学教学中我们不仅应当清楚地看到“正例（范例）”的作用，而且也应明确肯定“反例”的作用，特别是，后者能促使学生产生一定的“观念冲突”，从而也就可以自觉地去纠正先前的错误或不恰当认识。
最后，就当前而言，我们又应特别强调如下几点。
第一，在现今经常可以听到对于学生主动探究的片面强调，后者被说成是建构主义学习观的一个直接结论。如“记忆层次的学习反映了行为主义的学习观，理解层次的学习是认知心理流派的学习观，探索层次的学习反映了建构主义的学习观”。[17]
尽管我们应当充分肯定建构主义对于改进教学工作的积极意义，但是，笔者以为，以下的说法却不能不说是过于简单化了，而这事实上也已经成为国际教育界的一个共识，正如布兰思福特等人所明确指出的：“有关求知‘建构主义’理论的一个通常的误解是，教师不应该直接告诉学生任何事情，相反，应该让学生自己建构知识。”[18]
更为一般地说，笔者以为，我们事实上不应对各种具体的教学方法采取简单“对号入座”的方式予以“定性”，更不应以“新、旧”去区分教学方法的“好、坏”。另外，我们也不能因为研究的发展和深化而对行为主义等学习理论采取完全否定的态度，毋宁说，在此更为需要 的是观念的必要互补与整合。[19]
其次，我们在此又应该特别强调“优化思想”的重要性，因为，后者事实上应被看成教师指导工作的一个重要方面。例如，正是从这样的角度去分析，笔者以为，以下的提法就不很恰当：“在提倡算法多样化的同时，老师要不要提出一种最优的解法，对这一问题课程标准研制组曾经组织过一次讨论，大家的意见是：所谓最优解法，要和学生的个性结合起来，没有适合全体学生的最优方法。每个学生的学习方式、思维方式都是独特的，我们要尊重学生自己的选择，不能以一个学生或一批学生的思维为基准来规定全体学生必须掌握的所谓的最优解法。”[20]与此相对照，以下论述则可说体现了认识上的重要进步：“学生提出各种方法后，作为教师，当然有责任推荐一种自己认为最好的方法。”[21]
当然，对于所说的“优化”我们又不应理解为强制的统一，恰恰相反，教师应当充分尊重学生自己的选择，也即应当允许学生在方法的选择上有一定的自主权，并应看到方法论上的转变应是学生的一种自觉行为；但是，学生的个体差异不应成为教师“无所作为”“放之任之”的理由，我们也不应将学生的主动性与教师的指导作用绝对地对立起来，毋宁说，这正是教师的一个重要责任，即随着时间的推进和学习的深入，教师应从各种不同的角度或层面不断对各种相关的方法做出比较，从而有效地促进学生对于自己的方法作出积极反思与必要改进，并在方法论上达到更大的自觉性和先进性。
四、动手实践与活动的“内化”
这是关于“可能性”概念的一堂课。为了帮助学生很好地掌握相关概念，在通过与“必然性”的对照引出了“可能性”的概念以后，教师又安排学生以小组（4～5人）为单位从事以下的“游戏”：每个小组都配置了一个口袋，其中分别装有若干个粉色的球和黄色的球，教师要求学生每次摸出一个球，并对所得出的结果加以记录，然后算出一共摸了多少次。特别是，其中有多少次是粉球，多少次是黄球。显然，教师在此的主要目的是希望学生通过动手实践就能更好地体会可能性的“大”和“小”；也正因为此，在小组实践以后，教师又安排了全班性的汇报，教师以各个小组所得出的“数据”为基础引出了这样的结论：“口袋里的粉球越多，摸到粉球的可能性就越大；而如果口袋里的黄球越多，摸到黄球的可能性就越大。”
积极引导学生动手实践也是新一轮数学课程改革所积极倡导的一种学习方式；然而，就实际的教学活动而言，笔者以为，关键的因素恰又在于我们不应将所说的“动手实践、主动探索”与一般的课堂游戏简单地等同起来，而两者的重要区分之一就在于后者有着明确的目的性。就这里的课例而言，这就是指，我们究竟为什么要从口袋中连续不断地去“摸球”？不仅教师本人对此应有清楚的认识，还应促使学生在事先清楚地了解这种意图，从而相应的活动也才能够真正成为他们的一种自觉行为。
也正是从后一角度去分析，笔者以为，我们在此应认真思考“可能性”概念的教学是否应当采取上述的活动形式。因为亲手“摸”一次对于掌握“可能性”的概念未必有直接的促进作用；而且，在所说的课例中，由于学生并不知道其他小组的“工作背景”，或者说，由于各个小组的活动并不具有共同的关注点，因此，大多数学生对于其他组所得出的数据没有表现出任何的兴趣，恰恰相反，过多的“不相干”数据事实上只是冲淡了主要的教学目标。
综上所述，这就是笔者在这一问题上的一个基本主张：与单纯的追求形式相比，我们在组织数学活动时应当更加注意以下的问题：究竟为什么要让学生去从事相应的活动？又如何才能使之真正成为学生的自觉行为？
显然，从这样的角度去分析，以下的论述就是很有道理的：“我们不能仅仅从表面上看课堂是否活跃，我们不仅要关注每个学生是否在动口、动手，还要关注在合作小组内，每个学生在说些什么，做些什么。”[22]当然，从更为深入的角度看，我们则又不仅应当关注学生在做什么（what），而且还应考虑为什么要这样做（why），这样做了又究竟产生了什么样的效果（how）。
例如，正是基于后一方面的考虑，笔者以为，以下的教学模式就是不应提倡的：“在美国的数学课堂上我们看到了学生与教师的互动，但却看不到数学。”[23]进而，如果说上述的结论是国际上的相关实践从反面为我们提供的一种“教训”，那么，以下关于“结构性实物操作”的分析则从正面为我们搞好“活动教学”提供了重要启示。
具体地说，作为动手实践的一种具体形式，各种教学用具在数学教学特别是低年级的数学教学中得到了广泛应用，因为通过教具的实际操作学生就可获得必要的经验，从而也就可更好地理解相关的数学概念。然而，也正是从后一角度去分析，我们又应十分注意教学用具的适当性，因为，只有当前者的明显特征与我们所希望建立的数学关系较为一致时（这就是所谓的“结构性实物操作”），所说的实物操作才能产生较好的效果。
例如，为了帮助学生较好地掌握十进位制记数系统，人们常常使用十进制计数块（10base blocks）或有色的筹码。但是，由于在后一种情况下位值与筹码颜色之间的关系是随意指定的（如用黄色表示单位值1，用红色代表10，用绿色代表100等），筹码本身就不能提供关于它的值的任何暗示；与此相对照，十进制数块的制作则明显地提示出大一点的块是较小的块的十倍，从而，后者就更有利于学生建立起对于位值原理的正确认识。
最后，如常州的同行们所指出的，我们在此应十分注意操作活动的适当的“度”以及“活动的必要内化”，这就是说，“操作活动要适量、适度。所谓适量，就是不要动辄就操作，操作也不是多多益善。适度是指当学生的认识积累到一定程度时，就应该及时让学生的形象思维向抽象思维转化。”[24]
为了清楚地说明问题，以下再联系代数思维的基本形式对所说的“活动的内化”做出进一步的分析。
具体地说，这正是数学思维现代研究的一个重要成果，即指明了“凝聚”、也即由“过程”向“对象”的转化构成了数学思维特别是代数（包括算术）思维的一个基本形式。这就是说，有不少概念在最初是作为一个过程得到引进的，但最终则又转化成了一个对象──对此我们不仅可以研究它们的性质，也可以此为直接对象施行某些新的运作（对于所说的“运作”应作广义理解，即未必是指具体的运算，而也可以包括任何一种数学运演，甚至不一定要有明确的算法）。[25]
例如，加减等运算在最初都是作为一种过程得到引进的，也即代表了这样的一个“输入—输出”过程：由两个加数（被减数与减数）的值我们就可求得相应的和（差）；然而，随着学习的深入，这些运算又逐渐获得了新的意义：它们已不再仅仅被看成一个过程，而且也被认为是一个特定的数学对象，我们可具体地去指明它们所具有的各种性质，如交换律、结合律等，从而，就其心理表征而言，在此事实上就经历了一个“凝聚”的过程，也即由一个包含多个步骤的运作过程凝聚成了单一的数学对象。
但是，这里所说的由“过程”向“对象”的转变究竟是如何实现的呢？或者说，究竟什么是与“凝聚”这一思维形式直接相关的思维过程呢？作为一种可能的解释，著名以色列数学教育家斯法德（A.Sfard）提出了如下的“三阶段说”，即认为所说的思维过程包括了这样三个阶段：[26]第一，内化；第二，压缩；第三，客体化。其中，“内化”和“压缩”可视为必要的准备：前者是指用思维去把握原先的视觉性程序，这也就是说，我们在此已不再是由前一个步骤依次实际地去启动上一个步骤，而是在头脑中建立起相应过程的整体性心理表征；后者则是指相应的过程被压缩成了一个更小的单元，从而我们就可从整体上对所说的过程作出描述或进行反思──我们在此不仅不需要实际地去实施相关的运作，还可从更高的抽象水平去对整个过程的性质作出分析，如我们可以仅仅考虑整个运作的效用，而不必具体地去涉及相应的运算过程，如7～2究竟是由2往前数还是由7向后数。最后，相对于前两个阶段而言，“客体化”则代表了质的变化，即用一种新的视角去看一件熟悉的事物：原先的过程现在变成了一个静止的对象。
显然，就我们目前的论题而言，以上的研究就更为清楚地表明了这样一点：如果我们始终停留于实际操作的层面，而未能很好地实现活动的“内化”，包括思维中的必要重构，则就根本不可能发展起任何真正的数学思维。[27]
特殊地，由以上的分析我们显然也可得出这样的结论：我们不仅应当让学生看一看、摸一摸、做一做，而且，随着学生年龄的增大，我们也应让他们算一算、画一画（指几何图形），另外，更为重要的是，我们又应十分注意引导学生去想一想！
五、理论与教学实践
上面我们分别对几种具体的教学方法进行了分析。作为全文的结束，以下再从一般角度对教学方法改革的问题做出进一步的分析。
具体地说，作为数学课程改革的重要一环，有不少学者都曾突出地强调了数学教学方法改革的必要性和重要性。例如，“‘导入—讲授—巩固—作业—小结’这种以教师为中心的五环节教学法，历来把学生封闭在教师划定的圈子里。那么我们是否可以‘开放’一些，给学生更多的主动思考的空间？‘创设情境—活动尝试—师生探究—巩固反思—作业质疑’这样的以学生为主体的教学模式能否成为常规？”[28]又如，“与现行教材中主要采取的‘定义、公理—定理、公式—例题—习题’的形式不同，《标准》提倡以‘问题情境—建立模型？—解释、应用与拓展（反思）’的基本模式展开内容”。[29]
就对于新的教学方法的积极倡导而言，以上的论述是十分正确的；但是，笔者以为，数学教学方法的变革不应被理解成教学模式的简单取代；毋宁说，我们在此应当采取更为开放的态度，这也就是说，我们既应积极地去引进各种新的教学方法，但同时则又应当防止各种简单化的理解与绝对化的主张，特别是，不应将“新、旧”看成区分教学方法“好、坏”的主要标准，并因此而对某些教学方法采取绝对肯定或绝对否定的态度，恰恰相反，我们应当更为明确地去提倡教学方法的多样化，并通过积极的教学实践深入地去认识各种方法的优点与局限性，从而就能依据特定的教学内容、对象、环境（以及教师本人的个性特征）创造性地加以应用。
以下再从理论与教学实践的关系这一角度对上述论点做进一步的说明。
具体地说，这正是数学教育（乃至一般教育）国际进展的一项重要内容，即更为深入地认识到了在理论与教学实践之间所存在的辩证关系。
第一，与片面强调理论的指导作用相比，现今人们普遍地认识到了在理论与教学实践这两者之间应是一种互动的关系。从而，任何一种“居高临下、指手画脚”的态度，如过分强调“新课程概念”的灌输与辅导，就都是不恰当的；恰恰相反，在此最为需要的是各方面的积极互动，包括必要的批评与分析，特别是，任何一次教育改革运动，如果没有广大教师的积极参与，就都不可能获得成功。
第二，就当前而言，我们应大力提倡理论的多元化。例如，这就正如威尔逊和迈耶斯在《理论与实践境脉中的情境认知》一文中所指出的，“设计者和参与者在思考一个问题或决定一个行动计划时，可以在头脑中有一个或多个理论”。应当强调的是，所说的“多元化”事实上就可以被看成教学活动“情境相关性”的一个直接结论，这就是说，“情景中的需要高于规则、模式甚至标准价值观的规定”。[30]
显然，以色列学者斯法德的以下论述就可以被看成更为清楚地表明了保持头脑开放性的重要性：“当一个理论转换成教学上的规定，唯我独尊就会成为成功的最大敌人。教育实践有一个过分的偏好，希望得到极端的、普适的秘诀。建构主义的、社会互动论的和情境论的时髦组合……经常被转换成对‘说教式教学’的完全禁止，成为一个全面采用合作学习的指令，认为所有的不是基于问题的、不在真实生活情境脉络中的教学都是不正确的。……理论上的唯我独尊和对教学的简单思维，肯定会把哪怕是最好的教育理念搞遭。”与此相对照，斯法德提出，“当两个隐喻相互竞争并不断相映证可能的缺陷，这样就更有可能为学习者和教师提供更自由的和坚实的效果。”[31]从而，这也就更为清楚地表明了提倡理论多元化的积极意义。
第三，与对于权威或种种“时髦”理论的盲目信任与追随相比，笔者以为，我们在此又应特别强调思维的批判性，特别是，这更应被看成新一代小学数学名师所应具有的一项基本素质，即不应成为盲目追随潮流的“风派”或“明星”，而应成为具有独立思考与批判能力的思想者与实践者。
参考文献：
［1］郑毓信：《文化视角下的中国数学教育》，《课程·教材·教法》2002年第10期。
［2］［7］《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》，北京师范大学出版社2002年版，第112、2页。
［3］［6］［27］郑毓信：《简论数学课程改革的活动化、个性化、生活化取向》，《教育研究》2003年第6期。
［4］《作为教育任务的数学》，上海教育出版社1995年版，第123～124页。
［5］［11］郑毓信：《试析新一轮课程改革中小学数学课堂教学》，《课程·教材·教法》2003年第4期。
［8］［24］吕听听、诸建刚：《探课改之路，索课改真谛──常州市数学课改工作回顾与思考》，《中学数学教育》2003年第3期。
［9］［13］转引自林文生、邬瑞香：《数学教育的艺术与实务》，心理出版社（台湾），1999年版。
［10］易虹辉：《新课程教师怎样关注学生》，《小学青年教师》2003年第4期。
［12］Inventing Arithmetic Making Childern Intuition Work in School，Basic and Applied Pers pectives on Learning Cognition and Development，ed.by C.Nelson，Erlbau.
［14］［16］［30］戴维、乔纳森主编：《学习环境的理论基础》，华东师范大学出版社2002年版。
［15］顾泠沅等：《寻找中间地带》，上海教育出版社2004年版，第1.1节。
［17］孔企平：《新教材新在哪里？》，《小学青年教师》2002年第5期。
［18］《人是如何学习的》，华东师范大学出版社，2002年版，第19页。
［19］《学习理论的现代发展》，《数学教育学报》2004年第1期。
［20］《关于计算教学改革的讨论》，《小学青年教师》2002年第5期。
［21］［22］《对课程改革中几个问题的思考──刘兼教授访谈录》，《小学青年教师》2002年第9期。
［23］《三种不同的教学模式──教学的差距简介》，郑毓信：《数学教育：从理论到实践》，上海教育出版社2002年版。
［25］郑毓信、肖柏荣、熊萍：《数学思维与数学方法论》，四川教育出版社2001年版。
［26］On the Dual Nature of Mathematical Conceptions:Reflections on Process and Object as different Sides of the Same Coin，Educational Studies in Mathematics，22.1991.
［28］张奠宙：《在改革的潮头上》，《小学青年教师》2002年第5期，卷首语。
［29］《义务教育阶段国家数学课程标准特点》，《数学教育学报》2000年第4期。
［31］On Two Metaphors for Learning and the Dangers of Choosing Just One，Educational Researcher，1998.27.